Conjunto de los Números Reales y sus aplicaciones.

Los Números Reales.

Para hablar de los números reales primeros debemos conocer los conjuntos numéricos que lo conforman. 

Conjunto de los números naturales.

Es el conjunto formado por los números que utilizamos para contar,se simboliza por \(N\) y se expresa \(N=\left\{1,2,3,4,5,6,7,...\right\}\).

Dependiendo de la situación los números naturales tienen dos funciones, cuando se utilizan para contar tienen una función ordinal y cuando se utilizan para ordenar tienen una función cardinal.

Características de conjunto de los números naturales.

1-El conjunto de los números naturales es ordenado.

2-Es infinito.

3-Es tiene un primer elemento ,pero no tiene un último elemento.

4-A todo número natural le sigue otro natural y todo número natural diferente de \(1\) le antecede otro número natural.

5-Entre dos números naturales consecutivos no hay otro número natural.

Conjunto de los números enteros.

Este conjunto surge ante la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales para expresar deudas, faltas y efectuar operaciones en las que el minuendo es menor o igual que sustraendo .

Por ejemplos ,al efectuar la operación \(4-7= -3;3-3=0\).

El conjunto de los números enteros se simboliza por \(Z\) y se expresa \(Z=\left\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\right\}\).

Conjunto de los números racionales.

Un número racional es todo número que puede escribirse como el cociente de dos números enteros.

El conjunto de los números racionales se simboliza por Q  y se expresa \(Q´=\left\{ \frac{a}{b} /a∈Z,b∈Z,b≠0\right\}\).

\(\frac{6}{0}=\) a indefinido y \(\frac{0}{0} = \)indeterminado.

Por ejemplo los números \(20,0,3.6,-7.5\),\(\frac{2}{3}\),\(\frac{-7}{3}\) son números racionales ,porque se pueden expresar como cociente de dos números entero.

\(20=\frac{40}{2}\)

Decimales en los racionales.

Decimal exacto: Es aquel que resulta de una fracción en la que al dividir numerador entre denominador se obtiene residuo cero.

Conjunto de los números irracionales .

Número irracional es un números decimal de infinitas cifras no periódicas ,no se pueden expresar como el  cociente entre dos números entero .

El conjunto de los números irracionales se representan por \(Q´\).

Algunos de los números irracionales que tenemos son \(e,\pi\),las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos como por ejemplo.\(\sqrt3\),\(\sqrt5\).

Por otro lado tenemos las raíces cúbicas de números que no son cubos perfectos como por ejemplo :

Los números irracionales no se pueden expresar de forma exacta como un decimal ,ya que tienen infinitas cifras por lo que es necesario hacer aproximaciones a un número determinado de cifras. Esto se puede hacer por truncado o por redondeo.

Ahora si ya estamos en condición de  hablar sobre los números reales.

Conjunto de los números reales .

El conjunto de los números reales queda conformado por  la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Este se representa por \(R\).

\(R=Q \cup Q´\)

Propiedades de los Números Reales.

1-La adición es conmutativa.\(a+b=b+a;2+6=6+2\)

2-La adición es asociativa.\((a+b)+c=a+(b+c)\);

3-El\( 0\) es la identidad aditiva u elemento neutro:\(a+0=a;2+0=2\).

4-\( -a\) es el inverso aditivo u opuesto de\(a\). \(a+(-a)=0;4+(-4)=0\)

5-La multiplicación es conmutativa.\(a*b=b*a\);\(\frac{2}{5}*\frac{6}{3}=\frac{6}{3}*\frac{2}{5}\).

6-La multiplicación es asociativa:\((a*b)*c=a*(b*c);(2*6)*9=2*(6*9)=108\)

7- \(1\) es la identidad multiplicativa:\(a*1=a;3*1=3\)

8-Si \(a≠0\) ,\(\frac{1}{a}\) es lee inverso multiplicativo u opuesto recíproco :\(a*\frac{1}{a} = 1; 4*\frac{1}{4}=1\).

9-La multiplicación es distributiva con respecto a la adición :

\(a*(b+c)=a*b+a*c\);

\((a+b)*c=a*c+b*c\); 

 \(4*(2+3)=4*2+4*3\); 

 \((7+2)*2=7*2+2*2\).