Las Progresiones Geométricas y sus aplicaciones.

Progresiones Geométricas: concepto y aplicaciones.

Progresión Geométrica.

Es aquella función de los números naturales o sucesión donde los términos posteriores al primero se obtienen multiplicando el término anterior por un número fijo no nulo llamado razón o diferencia de la progresión.

Si tenemos la progresión \(a_1\),\(a_1r\),\( a_1r^2\).

\(a_1\) es el primer término y \(r\) es la razón.

El n-ésimo término esta dado por \(a_n=a_1.r^{n-1}\).

Analicemos la siguiente progresión.  \(2,4,8,16,32,64,...\) ,si intentamos hallar la diferencia de sus términos, obtenemos lo siguiente.

\(4-2=2,8-4=4,16-8=8,32-16=16,64-32=32\).

Como podemos ver en este caso no existe una diferencia común entre dos términos consecutivos ,por lo cual podemos asegurar que no es un progresión aritmética.

Toda sucesión en la que cada término se obtiene al multiplicar al término anterior por una constantes \(r≠0\) llamada razón, se le denomina progresión geométrica. La razón de una progresión geométrica puede obtenerse a partir del segundo termino dividiendo cualquier término por el anterior.

Veamos un ejemplo: en la progresión \(6,18,54,... \)si dividimos \(18\) por \(6\) es igual a \(3\) y lo mismo sucede si dividimos \(54\) por \(18\) es igual a \(3\).Así que la razón de esta progresión es 3.

De forma más clara:

\(\frac{18}{6}=3\) 

\(\frac{54}{18}=3\) ,por tanto \(r=3\).

Aplicaciones de las progresiones geométricas en la vida diaria.

¿Conoces algunas aplicaciones de la progresiones geométricas en la vida cotidiana?

Las progresiones geométricas tienen diversas aplicaciones en la vida diaria ,veamos por ejemplo la siguiente situación.

Una fundación decidió realizar las siguientes donaciones a una asociación dedicadas a la lucha contra el cáncer :hizo una donación de $200 en el primer mes ,$400 el segundo mes , $800 en el tercero y así sucesivamente .

Si hizo su donación durante\( 1\) años :
1-¿Qué cantidad habrá donado en el último mes? 
2-¿Qué cantidad habrá donado durante el año completo?

Analizando el enunciado podemos notar que la donación de cada mes a partir del primero se obtiene multiplicando al término anterior por \(2\) ,por lo que se trata de una progresión geométrica.

Para saber cuánto dinero dona en el último mes debemos hallar el último término de la sucesión \(200,400,800,...\) y para saber la cantidad donada durante los dos años debemos hallar la suma de todos lo términos de la progresión.

Podemos ver que \(a_1= 200\) ,si dividimos dos términos consecutivos podemos ver que la razón es igual a \(2\):  \(\frac{400}{200}=2,\frac{800}{400}=2\).
El número de términos es igual a\( 12\) ,ya que un año tiene \(12\) meses.
Organicemos mejor los datos, para que sea más fácil dar respuestas al problema.
Datos:
\(a_1=200\)
\(r=2\)
\(n=12\)
Hallemos el último término el cual está dado por \(a_n=a_1.r^{n-1}\).
Sustituyendo los datos tendremos lo siguiente:
\(a_n=200.(2^{12-1})\).
\(a_n =200(2^{11})\).
\(a_n=200(2,048\).
\(a_n=409,600\).
Así que en el último mes la fundación habrá donado \($ 409,600\).
Ahora hallemos lo que ha donado durante todo el año, para eso haremos uso de la expresión :\(S_n=\frac{a_n.r-a_1}{r-1}\).

Sustituyendo y operando tenemos que:
\(S_n=\frac{409,600.(2)-200}{2-1}\).
\(S_n=\frac{819,000}{1}\).

\(S_n=819,000\).

Por tanto durante un año completo la fundación habrá donado \($819,000\).