Las Progresiones Aritméticas y sus aplicaciones en la vida diaria.

Progresiones aritméticas y su aplicaciones.

¿Qué es una progresión aritmética ?

Una progresión aritmética es aquella función de los números naturales o sucesión ,donde los términos posteriores la primero se obtienen por medio de sumarle al término anterior un número fijo al que llamamos razón  o diferencia de la progresión.

Sea \(a_1,a_1+d,a_1+2d,a_1+3d\),   \(a_1\) es el primer término y \(d\) es la diferencia de la progresión. El segundo término es \(a_1+d\),el tercer término es \(a_1+2d\),por consiguiente el término general es \(a_n\) y está dado por \(a_n = a_1+(n-1)d\). 

 Ejemplo : Si tenemos la sucesión \(1,3,5,7,...\) esta se puede expresar como \(1+2,3+2,5+2,7+2,...\) donde cada término es igual al anterior sumándole dos ,este número recibe el nombre de diferencia común y la sucesión recibe el nombre de progresión aritmética.

Aplicaciones de las progresiones aritméticas en la vida cotidiana.

Las progresiones aritméticas las podemos encontrar en diversas situaciones de la vida cotidiana.

Veamos el siguientes ejemplo .

Si un empleado en su primer día de trabajo le pagan 1 peso y los siguientes días le pagan dos pesos más que el día anterior ¿Cuántos habrá cobrado cuando haya trabajado 120 días ? 

La situación planteada anteriormente representa una progresión aritmética, pero ¿Cómo lo sabemos?

Si leemos bien el enunciado podemos notar que después del primer día el empleado recibe dos peso más que el día anterior, es decir cada día suman dos peso a lo que gana el día anterior, y debemos recordar que en una progresión aritmética cada término después del primero se obtiene sumando un número fijo llamado diferencia.

Por esa razón afirmamos que estamos ante una progresión aritmética.

Ahora identifiquemos los datos del planteamiento.

Como el primer día recibe un peso podemos decir que \(a_1=1\).

La diferencia \(d=2\), ya que se va sumando uno al anterior.

El número de términos es 120 ,ya que trabaja \(120\) días, así \(n=120\)

Datos:

\(a_1=1\)

\(d=1\)

\(a_n=?\)

\(n=120\)

Ahora hallemos el último término sustituyendo el valor de \( a_1\) y d en la siguiente expresión ,la cual representa el término general de progresión aritmética:

\(a_n=a_1+(n-1)\)d 

 \(a_n=1+(120-1)\)2 

 \(a_n=1+119(2)\)

 \(a_n=1+238\) 

\(a_n=239\) 

Sabiendo cual es el primer y el último término podemos hallar la suma de lo n términos por medio de la expresión:\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)

\(S_120=\frac{120}{2}(1+239)\) 

\(S_120=110(240)\) 

\(S_120=26,400\)

Así que cuando haya trabajado \(120\) días cobrará \(26,400 \)pesos.

Veamos un segundo ejemplo.

Un anfiteatro tiene\( 60\) filas de asientos con \(30\) asientos en la primera fila ,\(40\) en la segunda, \(50\) en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuál es el número total de asientos que tiene el anfiteatro?

Como podemos ver esta situación corresponde también a una progresión aritmética ,podemos notarlo ya que cada fila tiene una diferencia de 10 asientos.

Por otro lado podemos ver que el número de filas representa el número de términos que en este caso es \(60\) ya que el anfiteatro tiene \(60\) filas y como la primera fila tiene 30 asientos \(a_1=30\) 

Datos: 

\(a_1=30\) 

\(d=10\) 

\(n=60\)

Primero hallemos la cantidad de asientos en la última fila .

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=30+(60-1)10\)

\(a_n=30+(59)10\)

\(a_n=30+590\)

\(a_n=620\)

Por tanto en la última fila tenemos \(620\) asientos.

Ahora hallemos la sumas de todos los asientos que contiene cada fila.

\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)

\(S_n=\frac{60}{2}(30+620)\) 

\(S_n=30(650)\) 

\(S_n=19,500\)

Para dar respuesta a la pregunta del planteamiento ,podemos decir que el anfiteatro tiene en total \(19,500\) asientos.

Estos  son solo algunos ejemplos de las aplicaciones en la vida cotidiana de las progresiones aritméticas.

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