Progresiones aritméticas y su aplicaciones.
¿Qué es una progresión aritmética ?
Una progresión aritmética es aquella función de los números naturales o sucesión, donde los términos posteriores la primero se obtienen por medio de sumarle al término anterior un número fijo al que llamamos razón o diferencia de la progresión.
Sea \(a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d\), \(a_1\) es el primer término y \(d\) es la diferencia de la progresión. El segundo término es \(a_1+d\), el tercer término es \(a_1+2d\), por consiguiente el término general es \(a_n\) y está dado por \(a_n = a_1+(n-1)d\).
Ejemplo: Si tenemos la sucesión \(1,3,5,7,...\) esta se puede expresar como \(1+2,3+2,5+2,7+2,...\) donde cada término es igual al anterior sumándole dos, este número recibe el nombre de diferencia común y la sucesión recibe el nombre de progresión aritmética.
Aplicaciones de las progresiones aritméticas en la vida cotidiana.
Las progresiones aritméticas las podemos encontrar en diversas situaciones de la vida cotidiana.
Veamos algunos problemas como ejemplo:
Si un empleado en su primer día de trabajo le pagan 1 peso y los siguientes días le pagan dos pesos más que el día anterior ¿Cuántos habrá cobrado cuando haya trabajado \(120\) días ?
La situación planteada anteriormente representa una progresión aritmética, pero ¿Cómo lo sabemos?
Si leemos bien el enunciado podemos notar que después del primer día el empleado recibe dos peso más que el día anterior, es decir cada día suman dos peso a lo que gana el día anterior, y debemos recordar que en una progresión aritmética cada término después del primero se obtiene sumando un número fijo llamado diferencia.
Por esa razón afirmamos que estamos ante una progresión aritmética.
Ahora identifiquemos los datos del planteamiento.
Como el primer día recibe un peso podemos decir que \(a_1=1\).
La diferencia \(d=2\), ya que se va sumando 2 al anterior.
El número de términos es \(120\), ya que trabaja \(120\) días, así \(n=120\)
Datos:
\(a_1=1\)
\(d = 2\)
\(a_n =?\)
\(n =120\)
Ahora hallemos el último término sustituyendo el valor de \( a_1\) y d en la siguiente expresión, la cual representa el término general de progresión aritmética:
\(a_n=a_1+(n-1)\)d
\(a_n=1+(120-1)\)2
\(a_n=1+119(2)\)
\(a_n=1+238\)
\(a_n=239\)
Sabiendo cual es el primer y el último término podemos hallar la suma de lo n términos por medio de la expresión: \(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)
\(S_120=\frac{120}{2}(1+239)\)
\(S_120=110(240)\)
\(S_120=26,400\)
Así que, cuando haya trabajado \(120\) días cobrará \(26, 400 \) pesos.
Problema 2.
Un anfiteatro tiene \( 60\) filas de asientos con \(30\) asientos en la primera fila, \(40\) en la segunda, \(50\) en la tercera y así sucesivamente. ¿Cuál es el número total de asientos que tiene el anfiteatro?
Como podemos ver esta situación corresponde también a una progresión aritmética, podemos notarlo ya que cada fila tiene una diferencia de \(10\) asientos.
Por otro lado, podemos ver que el número de filas representa el número de términos que en este caso es \(60\) ya que el anfiteatro tiene \(60\) filas y como la primera fila tiene 30 asientos \(a_1=30\).
Datos:
\(a_1=30\)
\(d=10\)
\(n=60\)
Primero hallemos la cantidad de asientos en la última fila.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=30+(60-1)10\)
\(a_n=30+(59)10\)
\(a_n=30+590\)
\(a_n=620\)
Por tanto en la última fila tenemos \(620\) asientos.
Ahora hallemos la sumas de todos los asientos que contiene cada fila.
\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)
\(S_n=\frac{60}{2}(30+620)\)
\(S_n=30(650)\)
\(S_n=19,500\)
Para dar respuesta a la pregunta del planteamiento, podemos decir que el anfiteatro tiene en total \(19, 500\) asientos.
Problema 3. Si un agricultor recibe por si primer día de trabajo 200
pesos, y los demás días le pagan 2 peso mas que el día anterior ¿Cuántos
pesos recibe en el día número 30?
¿Cuántos recibe por los 30
días?
Datos del problema:
- Primer día: 200 pesos.
- Cada día siguiente: 2 pesos más que el anterior.
- Se quiere saber cuánto recibe el día 30.
Paso 1: Identificar tipo de sucesión
Cada día aumenta en 2 pesos respecto al anterior:
\(200, 202, 204, 206,...\)
Esta es una progresión aritmética.
Paso 2: Extraer datos
- Primer término: \( a_1 = 200 \)
- Diferencia común: \( d = 2 \)
- Número de términos (días) hasta el día 30: \( n = 30 \)
Paso 3: Fórmula del término \( n \)-ésimo
Para progresión aritmética:
\(a_n = a_1 + (n-1)*d\)
Paso 4: Sustituir para \( n = 30 \)
\(a_{30} = 200 + (30-1)\cdot 2\)
\(a_{30} = 200 + 29 \cdot 2\)
\(a_{30} = 200 + 58\)
\(a_{30} = 258\)
Paso 5: Respuesta
En el día número 30 el agricultor recibe 258 pesos.
Para calcular el total recibido durante los 30 días, procedemos a hallar la suma de los \( n \)-ésimos términos.
Usando \(a_1\) y \( a_n\)
\(S_n =\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)
\(S_n =\frac{30}{2}(200+258)\)
\(S_n =15(458)\)
\(S_n = 6, 870\)
Problema 4: Una mujer comienza a trabajar como cajera de un supermercado en el mes de enero. Por el primer día de trabajo recibe \($300\) y los siguientes días recibe \($3\) pesos más que el día anterior. Si trabaja el mes completo: ¿Cuántos pesos recibe en el último día? ¿Cuánto pesos recibe por le mes completo ?
Paso 1: Identificar tipo de sucesión
Primer día: \($300\), cada día siguiente recibe \($3\) más que el anterior.
Esto es una progresión aritmética.
Datos:
\( a_1 = 300 \) pesos
\( d = 3 \) pesos
Enero tiene 31 días → \( n = 31 \)
Para último día (día 31):
Paso 2: Hallamos el último término
\(a_n = a_1 + (n-1)\cdot d\)
\(a_{31} = 300 + (31-1)\cdot 3\)
\(a_{31} = 300 + 30 \cdot 3\)
\(a_{31} = 300 + 90 = 390\)
Respuesta 1:En el último día recibe 390 pesos.
Para total del mes:
Paso 3: Fórmula de la suma
\(S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}\)
\(S_{31} = \frac{31 \cdot (300 + 390)}{2}\)
\(S_{31} = \frac{31 \cdot 690}{2}\)
\(S_{31} = 31 \cdot 345\)
\(S_{31} = 10, 695\)
Respuesta 2: En el mes completo recibe \(10, 695\) pesos.
Estos son solo algunos ejemplos de las aplicaciones en la vida cotidiana de las progresiones aritméticas.
Enlace de interés. Las sucesiones: https://www.mathcelpy.ml/search/label/Las%20Sucesiones?&max-results=10