Las Matrices, Concepto,Clasificación y sus aplicaciones .

 Matriz,concepto y ejemplos.

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.

Las filas están constituidas por la ordenación elementos de forma horizontal y las columnas están constituidas por la ordenación de elementos de forma vertical.

Las matrices tienen diversa aplicaciones en la vida cotidiana,por ejemplo podemos ver que en una biblioteca los libros pueden estar ordenados en filas y columnas,por otro lado se pueden utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en computación para el manejo de datos e información.

En criptografía podemos hacer uso de las matrices para encriptar mensajes.El emisor codifica el mensaje,el cual debe ser descodificado por el receptor,esto permite mantener la privacidad entre dos personas ,se altera el mensaje de modo que no pueda ser comprendido por nadie más que no sea el destinatario.

Ahora veamos los diferentes tipos de matrices y algunos ejemplos de cómo se representan. 

Tipos de matrices.

Dependiendo de la cantidad de elementos y la ordenación ,tenemos diferentes tipos de matrices.

Matriz cuadradas :Es aquella donde el número de fila es igual al número de columna.

Ejemplo:\(A=\left[\begin{matrix}1&3&-1\\-3&0&3\\7&8&9\\\end{matrix}\right]\)

Como podemos la matriz del ejemplo anterior tiene tres filas y tres columnas,por tal razón es una matriz cuadrada.

2-Matriz Fila:Es aquella que tiene una sola fila.

Ejemplo:\(M=\left[\begin{matrix}2&-4&1\\\end{matrix}\right]\)

3-Matriz columna:Es aquella que tiene una sola columna.

Ejemplo:\(C=\left[\begin{matrix}-1\\8\\4\\\end{matrix}\right]\)

Matriz Nula:Es aquella cuyos elementos son iguales a cero.Ejemplo:\(N=\left[\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right]\)

5-Matrices iguales:Dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes los son.

6-Matrices opuestas:son aquellas cuyos elementos correspondientes son opuestos.

7-Traza de unas matriz:la traza de una matriz cuadrada es la sumatoria de los elementos de la diagonal principal.

8-Matriz diagonal:es aquella cuyos elementos que nos están en la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplos:\(A=\left[\begin{matrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&-1\\\end{matrix}\right]\) \(B=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

9-Matriz Escalar:se llama matriz escalar a aquella cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a una constante.

Ejemplos.\(A=\left[\begin{matrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\\\end{matrix}\right]\) \(B=\left[\begin{matrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{matrix}\right]\) \(H=\left[\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right]\)

 \(N=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)

10-Matriz Identidad o unidad:es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad positiva (1).

Ejemplos:\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\) \(I_2=\left[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)

11-Matriz Triangular:se llama matriz triangular a la matriz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son iguales a cero .

Tenemos dos tipos de matriz triangular ,estas son matriz triangular superior y matriz triangular inferior.

12-Matriz triangular superior:es aquella matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo.\(M=\left[\begin{matrix}5&3&23\\0&2&-6\\0&0&3\\\end{matrix}\right]\)

13-Matriz Triangular inferior:es aquella matriz cuyos elementos  por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

Ejemplo.\(B=\left[\begin{matrix}8&0&0\\9&3&0\\2&-7&12\\\end{matrix}\right]\)

14-Matriz Transpuesta:es aquella matriz que se obtiene al intercambiar las filas por columnas y las columnas por las filas y se denota por \(A^t\).

15-Matriz Simétrica:Una matriz cuadrada \(A_n\) es simétrica si y solo so \(A_n=A_n^t\), es decir si es igual a s transpuesta.

16-Matriz Antisimétrica: una matriz cuadrada es antisimétrica si y sólo si \(A_n=-A_n^t\) es decir es igual a la opuesta de su transpuesta.

17-Matriz Normal:una matriz es normal si conmuta su transpuesta ,es decir si \(AA^t=A^tA\)