Problema de aplicación sobre la parábola.
En este artículo resolveremos un problema de aplicación, haciendo uso de las propiedades de la parábola.
Como sabemos las cónicas tienen diversas aplicaciones en las construcciones arquitectónicas. A continuación, veremos cómo resolver un problema de aplicación.
Problema: Puente de cables parabólicos.
Los cables de suspensión de un puente colgante tienen forma parabólica. El puente que se muestra en la siguiente figura tiene torres que están a \(400 m\) de distancia una de la otra, sabiendo que el punto más bajo de los cables de suspensión está a \(100 m\) por debajo de la cúspide de las torres. Encuentre la ecuación que representa la parte parabólica de los cables, coloque el vértice en el origen del sistema de coordenadas.
Veamos!
Como podemos observar en el gráfico anterior el punto \((200,100)\) pertenece a la parábola, por lo que representa un dato muy importante.
Por otro lado como la parábola es vertical y con vértice en el origen de coordenadas ,por tanto debemos hacer uso de la ecuación \(x^2=4ay\) la cual representa este tipo de parábola .
Lo primero para resolver cualquier problema es identificar los datos con que contamos y así identificar los que nos faltan.
Veamos!
Datos:
Del punto \((200,100)\)
\(x=200\)
\(y=100\)
Ahora sustituimos el punto en la ecuación para encontrar el valor de "\(a\)".
\(x^2=4ay\) ecuación de la parábola (\(200\))\(^2=4a\)(\(100\)) sustituyendo \(x=\)\(200\) e \(y=\) \(100\)
\(40,000=400a\) elevando al cuadrado lado izquierdo
\(\frac{40,000}{400}=\frac{400a}{400}\) dividiendo ambos miembros por \(400\) para despejar a "\(a\)".
Por último tenemos que \(a=100\)
Ahora tomamos nuevamente la ecuación y sustituimos el valor de "\(a\)":
Tendremos entonces que :
\(x^2=4ay\)
\(x^2=4\)(\(100\))\(y\) Sustituyendo a "a" por 100
\(x^2=400y\) Realizando la multiplicación del lado derecho.
De esa forma hemos encontrado la ecuación que representa la parte parabólica de los cables de suspensión del puente.
¿Qué te pareció este problema de aplicación?
Aplicaciones de la parábola
A continuación, te presento algunas aplicaciones interesantes de la parábola en la vida diaria, la arquitectura y la tecnología. La parábola no solo es un concepto matemático, sino que se encuentra en objetos y fenómenos que usamos o vemos constantemente.
1. Arquitectura y construcción
Puentes colgantes: Los cables de suspensión adoptan una forma parabólica que distribuye el peso de manera uniforme.
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| Gran Puente de Akashi Kaikyō por [Kanenori] vía Pixabay |
Arcos parabólicos: Se utilizan en estructuras arquitectónicas porque ofrecen gran resistencia y estabilidad. Ejemplo: el Gateway Arch en St. Louis, EE. UU.
Diseño de techos y cúpulas: Algunas construcciones emplean parábolas para mejorar la distribución de cargas y la estética.
2. Tecnología y comunicación
Antenas parabólicas: Concentrar señales en un punto focal permite captar o transmitir ondas de radio y televisión con gran precisión.
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| El Very Large Array, por Obelixlatino vía Pixabay |
Radiotelescopios: Usan parábolas gigantes para recolectar señales del espacio, como el famoso radiotelescopio de Arecibo en Puerto Rico.
Reflectores de luz: Los faros de automóviles utilizan parábolas para proyectar haces de luz paralelos.
3. Energía y medio ambiente
Cocinas solares parabólicas: Aprovechan la forma de la parábola para concentrar rayos solares en un punto focal y cocinar alimentos sin combustibles fósiles.
Concentradores solares: Se usan en plantas de energía para dirigir la luz solar hacia un receptor y generar electricidad.
4. Deportes y fenómenos cotidianos
Trayectoria de proyectiles: Una pelota lanzada en baloncesto o fútbol sigue una trayectoria parabólica bajo la acción de la gravedad.
Fuentes ornamentales: El agua que cae describe una parábola, creando efectos visuales atractivos.
🔎 Datos curiosos sobre la parábola y su aplicación en puentes
a. Forma parabólica en puentes colgantes: Los cables de suspensión de muchos puentes colgantes, como el Golden Gate en San Francisco, siguen una curva parabólica. Esto se debe a que la parábola describe muy bien cómo se distribuye el peso y la tensión de los cables bajo la acción de la gravedad.
b. Ecuación estándar usada: En el ejemplo de la página, se utiliza la forma x^2=4ay, que corresponde a una parábola vertical con vértice en el origen. Este modelo es común en problemas de física y arquitectura porque simplifica cálculos de simetría.
c. Dato clave del problema: El punto (200,100)es fundamental porque representa la posición de un cable respecto al vértice. Sustituirlo en la ecuación permite calcular el parámetro a, que en este caso resulta ser 100.
d. Resultado final: La ecuación obtenida es x^2=400y. Esta describe matemáticamente la curva de los cables del puente, mostrando cómo la geometría se conecta directamente con la ingeniería.
e. Aplicaciones más allá de puentes: Las parábolas también aparecen en antenas parabólicas, reflectores de luz y en el diseño de telescopios, porque concentran ondas o rayos en un punto focal.
Como has podido notar, la parábola conecta la matemática pura con la vida práctica, desde la ingeniería de puentes hasta la energía solar. Si quieres conocer mas acerca de las cónicas visita este artículo "Las cónicas y sus aplicaciones en la vida diaria" donde hablo de forma mas detallada sobre el tema.
