Las Sucesiones y sus aplicaciones en la vida diaria.

Las Sucesiones, concepto y ejemplos.

¿Sabes que es una sucesión?

Definir una sucesión es hacer corresponder a cada número entero positivo un elemento arbitrario.

Una sucesión es una función de \(f(n)\) cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos \(Z^+\) o un subconjunto de estos, mientras que el coodominio es un conjunto de cualquier naturaleza.

Tendremos sucesiones cuyos elementos pueden ser números, puntos, proposiciones ,etc.

Una sucesión es numérica cuando sus elementos son todos números .Por ejemplo \(1,2,3,4,5,6...\)

Los conjuntos formados por estos elementos se caracterizan por ser ordenados.

Ejemplos de sucesiones :

Ejemplo 1: El conjunto de los meses del año está constituido por la sucesión que se define mediante la siguiente función.

1 ________________ Enero

2 ________________ Febrero

3 ________________ Marzo

4 _________________ Abril

5 ________________ Mayo

6 ________________ Junio

7 ________________ Julio

8 ________________ Agosto

9 ________________ Septiembre

10 _______________ Octubre

11 _______________ Noviembre

12 _______________ Diciembre

Ejemplo 2: \(2,4,6,8,10,12,...\) es la sucesión de los números enteros positivos pares ;la misma se define por la función :\(F(x) = 2x \) definida en \(Z^+\).

Término enésimo o término general de la sucesión .

Es la ley que define la correspondencia y se expresa mediante una fórmula que llamaremos término general o término enésimo de la sucesión.

En el ejemplo \(2\),el término general lo expresamos como \(Tn=2n\).

En la sucesión \(1,4,9,16,25,36,...\) el término general es \(Tn=n^2\).

En el siguiente ejemplo hallaremos los \(5\) primeros términos de una sucesión dado su término general .

\(Tn=n^2+3n\)

Par hallar los n primeros términos de una sucesión sólo debemos sustituir a \(n\) por los números enteros positivos comenzando desde el \(1\) hasta la cantidad de términos que queremos encontrar y realizamos las operaciones indicadas.

En este caso como queremos encontrar los \(5\) primeros términos \(n\) tomará los valor de \(1\) hasta \(5\).

Por tanto decimos que \(n=1,2,3,4,5\).

Sustituimos a \(n\) en la expresión \(Tn=n^2+3n\)

Para \(n= 1\) tenemos.

\(Tn=n^2+3n\) 

\(T(1)=1^2+3(1)\)

\(T(1)=4\)

Para \(n=2\) tenemos.

\(Tn=n^2+3n\) 

\(T(2)=2^2+3(2)\)

\(T(2)=10\)

Para \(n= 3\) tenemos.

\(Tn=n^2+3n\) 

\(T(3)=3^2+3(3)\)

\(T(3)=18\)

Para \(n= 4\) tenemos.

\(Tn=n^2+3n\) 

\(T(4)=4^2+3(4)\)

\(T(4)=28\)

Para \(n= 5\) tenemos.

\(Tn=n^2+3n\) 

\(T(5)=5^2+3(5)\)

\(T(5)=40\)

Clasificación de las sucesiones.

Las sucesiones se clasifican  en:

1-Sucesiones monótonas:

Es toda sucesión en la cual los términos permanecen iguales o van aumentando o disminuyendo.

2-Sucesión monótonas creciente:  

Es aquellas en la cual cual cada término es mayor que el término anterior .Sean \(a_1,a_2,a_3,...\) los términos de una sucesión ,se verifica que:\(a_1<a_2<a_3...\)Ejemplo: \(2,4,6,8,10,...\)

3-Sucesión monótona decreciente :

Es aquellas sucesión en la cual cada término es menor que el término anterior .Sean \(a_1,a_2,a_3...\),se verifica que\( a_1>a_2>a_2...\)Ejemplo\( 15,10,5,1\).

4-Sucesión monótona constante: 
Es aquella sucesión en la cual todos los términos son iguales \(a_1=a_2=a_3...\)Ejemplo:\(1,1,1,1,1,...\)

Sucesión finita:

Es la sucesión que tiene un último término .Ejemplo :\(8,16,24,30,10,17,31\).

Sucesión infinita :

Es la sucesión que tiene un número de términos ilimitado. Ejemplo:\(2,4,6,8,...\)

Sucesiones convergentes ,divergentes y oscilantes.

Sucesión convergentes:

Son aquellas que tiene límite finito.

Sucesiones divergentes :

Una sucesión es divergente cuando no tiene límite finito o el límite es infinito.

Sucesión oscilante:

Es aquella sucesión que no tiene límite. Ejemplo \(5,-5,5-5,5,-5...\)